Почему при экспорте средствами crm в файле базы mysql теряются кавычки?

Скорее всего CRM выгружает данные как есть, без экранирования. Если в полях были кавычки, а софт их не дублирует и не оборачивает поля в кавычки-ограничители — при импорте обратно всё ломается. Проверь настройки экспорта, часто есть галка «заключать строки в кавычки». Если нет — проще дамп через mysqldump снять.